基环树略解

      基环树

      基环树,也叫 环套树,是一种图的类型。如果连通图 \(G=\{V,E\}\)\(|V|=|E|\),则我们称它是基环树。

      顾名思义,基环树就好似是在一棵树上加一条边得到的图。基环树有且仅有一个环,所以也被成为环套树。
      在这里插入图片描述
      如上图所示的图就是一棵基环树。

      用途

      基环树没什么用。

      它只能解决部分特殊问题,而这类问题通常会注明“边数=点数”,解法也比较单一,常被与其他算法一同考察。

      我们来看几道例题。


      luogu P1453 城市环路)今有基环树 \(G=\{V,E\}\),定义\[ans=\sum_{i=1}^{N}{a_i·b_i}\]\(\forall i\in[1,N]∩\N^*\)\(b_i\in\{0,1\}\),且 \(\forall e=(u,v)\in E\)\(b_u\text{ and }b_v=0\)\(\text{and}\) 表示按位与运算)。求 \(ans_{\max}\)

      Solution 本题中如果 \(N=M+1\),这显然就是“没有上司的舞会”了。

      考虑将新问题转化成已解决的问题。我们发现,环上有且仅有一条边对计算不产生影响,删除它即可。由一条边上的两个点不能被同时选中,不难想到给每个点设置两个状态:选中(1)与不选中(0);并查集找环,删除一条边后做树形动态规划即可解决此题。时间复杂度 \(O(N\alpha(N))\)

      参考代码

      #include<cstdio>
      #include<cstdlib>
      #include<cstring>
      
      const int MAXN=100010;
      
      int fa[MAXN];
      int a[MAXN];
      int sx,sy,fx,fy;
      int ST,ED;
      int n;
      
      struct node{
          int x,y,next;
      }e[MAXN+MAXN];
      int len=0;
      int first[MAXN];
      int ans;
      int f[MAXN][3];
      
      
      int findfa(int x){
          if(x==fa[x]) return x;
          return fa[x]=findfa(fa[x]);
      }
      void ins(int x,int y){
          e[++len].x=x;e[len].y=y;
          e[len].next=first[x];first[x]=len;
      }
      int max(int x,int y){
          return x>y?x:y;
      }
      void dfs(int x,int last){
          f[x][1]=a[x];f[x][0]=0;
          for(int i=first[x];i;i=e[i].next){
              int y=e[i].y;
              if(y==last) continue;
              dfs(y,x);
              f[x][0]+=max(f[y][1],f[y][0]);
              f[x][1]+=f[y][0];
          }
      }
      inline int read(){
          int x=0; char c;
          do c=getchar(); while(c<'0'||c>'9');
          while(c>='0'&&c<='9')
              x=x*10+c-48,c=getchar();
          return x;
      }
      int main(){
          n=read();
          for(int i=1;i<=n;++i){
              a[i]=read();
              fa[i]=i;
          }
          memset(first,0,sizeof(first));
          for(int i=1;i<=n;++i){
              sx=read()+1;sy=read()+1;
              fx=findfa(sx);fy=findfa(sy);
              if(fx==fy){
                  ST=sx;ED=sy;
                  continue;
              }
              ins(sx,sy);ins(sy,sx);
              fa[fx]=fy;
          }
          memset(f,0,sizeof(f));
          dfs(ST,0);ans=f[ST][0];
          dfs(ED,0);ans=max(ans,f[ED][0]);
          double k;
          scanf("%lf",&k);
          printf("%.1lf",ans*k);
      }

      接下来的这道习题与例题的思路不太一样。

      练习 1[NOIp2018] luogu P5022 旅行)有一棵基环树 \(T\),你初始在一个点上。每次可以从下列选项中选择一项执行:

      1. 沿着一条边走到一个没有访问过的点;
      2. 沿着一条边返回一个访问过的点。

      你需要依此法访问所有的 \(N\) 个点。每个点被首次访问的顺序形成了一个序列,求这个序列字典序最小的那个。

      基环树的建图同样重要。
      练习 2luogu P2607 [ZJOI2008]骑士)有 \(N\) 个人,每个人有两个值:\(d_i\) 战斗力,\(t_i\) 讨厌的人的编号(\(t_i\neq i\))。从这 \(N\) 个人中选出若干个人,使他们讨厌的人没被选中,且他们的战斗力之和最大。

      总结

      基环树的初步内容较少,解法单一,经常与其他算法一同出现。

      解决基环树上问题的关键点就是:处理额外边,将原问题转化成树上问题。

      本文列举了两种处理额外边的方法,难免有所疏漏敬请指正。此外,如果读者有好题推荐可以在评论区留言,我会尽量回复。感谢阅读。

      相关文章
      相关标签/搜索
      今期管家婆大图 玄机图香港挂牌正版彩图六合彩资料大全香港马会资料白小姐中特玄机香港挂牌之全篇